Программа Бином Ньютона' title='Программа Бином Ньютона' />Бином Ньютона и треугольник Паскаля. Сегодня, как и лет тридцать сорок назад, абитуриенты на вступительных экзаменах в вуз традиционно опасаются вытянуть билет с вопросом о биноме Ньютона. Изучение е то включали в программу средней школы, то выводили за рамки основного курса, но в серьзных вузах экзаменаторы спрашивали и продолжают спрашивать о биноме Ньютона. Fig9.gif' alt='Программа Бином Ньютона' title='Программа Бином Ньютона' />Бином Ньютона формула разложения произвольной натуральной степени двучлена abn в многочлен. Каждый из нас знает наизусть формулы квадрата суммы ab2 и куба суммы ab3, но при увеличении показателя степени с определением коэффициентов при членах многочлена начинаются трудности. Чтобы не совершить ошибку и применяется формула бинома Ньютона. Но попытаемся е проанализировать. Видно, что в любом многочлене присутствуют anи bnс коэффициентами 1. Ясно также, что всякий иной член многочлена выглядит как произведение определнных степеней каждого из слагаемых двучлена ab, причм сумма степеней всегда равна n. Например, в выражении. То же самое справедливо и для любой другой степени. Вопрос лишь в том, какие коэффициенты следует ставить при членах. Единица соответствует выражению ab0, поскольку любое число, возведнное в нулевую степень, дат единицу. Достраивая треугольник, ниже пишем ещ по единице. Это коэффициенты разложения того же двучлена, возведнного в первую степень ab1 ab. Стороны треугольника образуют единицы, а между ними сумма двух единичек, находящихся сверху, то есть 2. Это и есть коэффициенты трхчлена квадрат суммы. Мы получили коэффициенты разложения куба суммы. Бином Ньютона Математика Формулы сокращенного умножения Фоксфорд. Учебник. Ряд коэффициентов двучлена четвртой степени составят 1, 4, 6, 4, 1 и так далее. Кстати, самостоятельно вспомнить и вывести формулу бинома Ньютона, нарисовав на черновике треугольник Паскаля, тоже намного проще. Они считают, что Паскаль вывел е несколько раньше Ньютона, а тот лишь обобщил формулу для разных показателей степеней. Расчет биномиальных коэффициентов на Си С и Python Хабрахабр. При решении задач комбинаторики часто возникает необходимость в расчете биномиальные коэффициентов. Бином Ньютона, т. Для их расчета можно использовать формулу, выражающую биномиальный коэффициент через факториалы или использовать рекуррентную формулу Из бинома Ньютона и рекуррентной формулы ясно, что биномиальные коэффициенты целые числа. На данном примере хотелось показать, что даже при решении несложной задачи можно наступить на грабли. Прежде чем перейти к написанию процедур расчета, рассмотрим так называемый треугольник Паскаля. Программа Бином Ньютона' title='Программа Бином Ньютона' />В левой колонке строки значение n, дальше в строке значения для k0. В полном соответствии с рекуррентной формулой значения равны 1 и любое число равно сумме числа, стоящего над ним и числа над нимшаг влево. Например, в 7й строке число 2. Видно также, что значения в строке симметричны относительно середины строки, т. Это свойство симметричности бинома Ньютона относительно a и b и оно видно в факториальной формуле. Ниже для биномиальных коэффициентов я буду также использовать представление Cn,k его проще набирать, да и формулу картинку не везде можно вставить. Расчет биномиальных коэффициентов через факториальную формулу. Значит, задача расчета решена Но не совсем. Мы не ответили на вопрос при каких максимальных значениях n,k функция bci будет работать правильноПрежде чем начать искать ответ, условимся, что используемый нами тип unsigned int 4 х байтный и максимальное значение равно 2. При каких n,k Cn,k превысит его Обратимся к треугольнику Паскаля. Видно, что максимальные значения достигаются в середине строки, т. Если n четно, то имеется одно максимальное значение, а если n нечетно, то их два. Точное значение C3. C3. 5,1. 7 равно 4. Поэтому последний правильно вычисленный коэффициент см треугольник выше это C1. Хотя unsigned int вмещает 4млрд, правильно вычисляются значения меньше 1. Вот те раз, почему так Все дело в нашей процедуре bci, точнее в строке, которая сначала вычисляет большое число в числителе, а потом делит его на большое число в знаменателе. Для вычисления C1. Очень просто раскроем 1. Формула бинома Ньютона задач видеоурок на образовательном портале InternetUrok. Мы познакомимся с формулой бинома Ньютона. Дефектологический Словарь Том 1 тут. Выведем е. В результате получится. Запрограммируем расчет по этой формулеunsigned bciint n,int k. В силу симметричность Cn,kCn,n k. Причина понятна все то же переполнение. Сначала умножаем на 3. А что, если использовать рекурсивную формулуТам только сложение, переполнения быть не должно. Вот только строчка с n3. При расчете Cn,n2 делается два рекурсивных вызова, поэтому время расчета экспоненциально зависит от n. Что же делать получается либо неточно, либо медленно. Выход в использовании 6. Бином Ньютона, т. Если в программе надо использовать При этом для int сам бином вполне записывается до 17 степени,. Изучение темы Элементы комбинаторики и бином Ньютона. Бином Ньютона с использованием треугольника Паскаля и обозначения факториала. Общее число подмножеств. Изучение е то включали в программу средней школы, то выводили за рамки. Бином Ньютона формула разложения произвольной натуральной. Решить задачу http Вывести первые пять строк треугольника Паскаля лочкой. Замечание по результатам обсуждений в конце статьи добавлен раздел, где приведен простой и быстрый вариант bcr с запоминанием одного из участников обсуждения. Использование 6. 4 битных типов для расчета Cn,k. Заменим в функции bci unsigned int на unsigned long long и протестируем в диапазоне n3. Сначала умножение на 6. Дальнейшее повышение точности и расчет при n 6. Ошибка возникла при n6. Поэтому можно сказать до nlt 6. А если очень высокая точность не нужна, но хочется считать биномиальные коэффициенты при n1. Снова берем процедуру bci и меняем в ней типы unsigned int на double double bcdint n,int k. В силу симметричности Cn,kCn,n k. Где то оно превышало 0. Переполнение double произойдет при n1. Он небольшое всего 8. При n6. 7 отклонение 8. Для экстремалов и олимпийцев. В принципе, для практических задач точности функции bcd достаточно, но в олимпиадных задачах часто даются тесты на грани. Как избежать переполнения для таких крайних случаев Можно использовать рекурсивный алгоритм. Но если он для n3. Можно запоминать рассчтанные значения см Дополнение после публиукации. Также можно использовать рекурсию не для всех n и k, а только для достаточно больших. Вот процедура расчета, которая считает правильно для nlt 6. Иногда и для n 6. C8. 2,2. 11. 8. Естественно, пришлось использовать длинную арифметику свою. Для этой задачи я написал рекурсию с памятью вычисленные коэффициенты запоминались в массиве и экспоненциального роста времени расчета не было. Дополнение после публикации. При обсуждении часто упоминаются варианты с запоминанием рассчитанных значений. У меня есть код с динамическим выделением памяти, но я его не привел. На даный момент вот самый простой и эффективный из комментария chersanya http habrahabr. Аналогичный код годится и для unsigned long long и даже для длинной арифметики хотя там, наверное, лучше динамически вычислять и выделять требуемый объем памяти. Конкретные значения N. Например, для С8. K. Автор начал осваивать Python и для тренироки я решаю олимпиадные задачи, сделанные ранее на C. Для задач связанных в точнымидлинными вычислениями приходится либо всячески исхитряться как при расчетах биномиальных коэфиициентов, дабы избежать раннего переполнения, либо смиряться с потерей точности перейдя к типу double либо писатьили искать длинную арифметику. В Python длинная арифметика уже есть, поэтому тут для вычисления биномиальных коэффициентов достаточно реализовать запоминание. Запоминать их будем в списке передается в функцию как папаметр. Bincbcs,n,k. if k n return 0.